四川省成都市彭州市五校联考高二(下)期中数学试卷(文科)
高中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
85 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共7题,共35分)
1、 若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2,则 的最小值为( ) A.4 B.12 C.16 D.6 2、 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P、Q是抛物线上的两点,若△FPQ是边长为2的正三角形,则p的值是( ) A. B. C. D. 3、 关于函数f(x)=5sin3x+5 cos3x,下列说法正确的是( ) A.函数f(x)关于x= π对称 B.函数f(x)向左平移 个单位后是奇函数 C.函数f(x)关于点( ,0)中心对称 D.函数f(x)在区间[0, ]上单调递增 4、 执行如图所示的程序框图,则输出S=( ) A.2 B.6 C.15 D.31 5、 若复数Z满足Z(i﹣1)=2i(i为虚数单位),则 为( ) A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 6、 设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7、 已知集合U=R,Q={x|﹣2≤x≤3},P={x|x﹣2<0},则Q∩(∁UP)=( ) A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≥1} C.{x|1<x≤2} D.{x|2≤x≤3}
二、填空题(共4题,共20分)
8、 若x,y满足约束条件 ,则z=x+3y的最大值为______ . 9、 已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 若a3+a4=18﹣a6﹣a5 , 则S8=______ . 10、 对任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[﹣3.6]=﹣4,关于函数f(x)=[ ﹣[ ]],有下列命题: ①f(x)是周期函数; ②f(x)是偶函数; ③函数f(x)的值域为{0,1}; ④函数g(x)=f(x)﹣cosπx在区间(0,π)内有两个不同的零点, 其中正确的命题为______(把正确答案的序号填在横线上). 11、 利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学,其中女生人数为8人,则该年级男生人数为______ .
三、解答题(共6题,共30分)
12、 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程; (Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标. 13、 已知函数f(x)=ex , g(x)=mx2+ax+b,其中m,a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. (I)函数h(x)=xf (x),当a=l,b=0时,若函数h(x)与g(x)具有相同的单调区间,求m的值; (II)记F(x)=f(x)﹣g(x).当a=2,m=0时,若函数F(x)在[﹣1,2]上存在两个不同的零点,求b的取值范围. 14、 如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3 (1)证明:BE⊥平面BB1C1C; (2)求三棱锥B1﹣EA1C1的体积. 15、 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的焦距为4 ,且椭圆C过点(2 ,1). (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设椭圆C与y轴负半轴的交点为B,如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E、F,且B,E,F构成以EF为底边,B为顶点的等腰三角形,判断直线EF与圆x2+y2= 的位置关系. 16、 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsin A. (Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)若a= ,c=5,求△ABC的面积及b. 17、 如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知80~90分数段的学员数为21人. (Ⅰ)求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数n; (Ⅱ)现欲将90~95分数段内的n名人分配到几所学校,从中安排2人到甲学校去,若n人中仅有两名男生,求安排结果至少有一名男生的概率. |
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四川省成都市彭州市五校联考高二(下)期中数学试卷(文科)
1、
若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2,则 的最小值为( )
A.4
B.12
C.16
D.6
D
解:圆(x+3)2+(y+1)2=1的半径为1,圆心(﹣3,﹣1) 直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2,
直线经过圆的圆心.
可得:3m+n=2.
则 = ( )(3m+n)= (3+3+ + )≥3+ =6.
当且仅当m= ,n=1时取等号.
故选:D.
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案,需要熟知用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
2、
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P、Q是抛物线上的两点,若△FPQ是边长为2的正三角形,则p的值是( )
A.
B.
C.
D.
A
解:y2=2px的焦点F( ,0),(p>0) ∵正三角形PQF的一个顶点位于抛物线的焦点F,另外两个顶点在抛物线上,
∴正三角形PQF关于x轴对称,∴P(x0 , 1),由P(x0 , 1)在抛物线上可得1=2px0 ,
∴x0= ,∴焦点F到直线AB的距离| ﹣ |= ,
解得:p=2± ,
故选A.
3、
关于函数f(x)=5sin3x+5 cos3x,下列说法正确的是( )
A.函数f(x)关于x= π对称
B.函数f(x)向左平移 个单位后是奇函数
C.函数f(x)关于点( ,0)中心对称
D.函数f(x)在区间[0, ]上单调递增
D
解:对于函数f(x)=5sin3x+5 cos3x=10•( sin3x+ cos3x)=10sin(3x+ ), 令3x+ =kπ+ ,求得x= + ,k∈Z,可得函数的图象关于直线x= + ,k∈Z对称,故A错误.
把函数f(x)向左平移 个单位后得到y=10sin[3(x+ )+ ]=10sin(3x+ )=10cos3x的图象,为偶函数,故B错误.
令x= ,求得f(x)=10,为函数的最大值,故函数的图象关于直线x= 对称,故C错误.
在区间[0, ]上,3x+ ∈[ , ],故函数f(x)在区间[0, ]上单调递增,故D正确.
故选:D.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换(图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象).
4、
执行如图所示的程序框图,则输出S=( )
A.2
B.6
C.15
D.31
C
解:框图首先给循环变量k和累加变量S赋值k=1,S=1. 判断1<4成立,执行S=1+12=2,k=1+1=2;
判断2<4成立,执行S=2+22=6,k=2+1=3;
判断3<4成立,执行S=6+32=15,k=3+1=4;
判断4<4不成立,跳出循环,输出S的值为15.
故选C.
【考点精析】通过灵活运用程序框图,掌握程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明即可以解答此题.
5、
若复数Z满足Z(i﹣1)=2i(i为虚数单位),则 为( )
A.1+i
B.1﹣i
C.﹣1+i
D.﹣1﹣i
A
解:Z(i﹣1)=2i(i为虚数单位), ∴﹣Z(1﹣i)(1+i)=2i(1+i),
∴﹣2z=2(i﹣1),
解得z=1﹣i.
则 =1+i.
故选:A.
【考点精析】本题主要考查了复数的乘法与除法的相关知识点,需要掌握设则;才能正确解答此题.
6、
设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
A
解:若a≥1且b≥1则a+b≥2成立, 当a=0,b=3时,满足a+b≥2,但a≥1且b≥1不成立,
即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件,
故选:A
7、
已知集合U=R,Q={x|﹣2≤x≤3},P={x|x﹣2<0},则Q∩(∁UP)=( )
A.{x|1≤x≤2}
B.{x|x≥1}
C.{x|1<x≤2}
D.{x|2≤x≤3}
D
解:Q={x|﹣2≤x≤3},P={x|x﹣2<0}={x|x<2}, 则∁UP={x|x≥2},
则Q∩(∁UP)=[2,3],
故选:D.
【考点精析】本题主要考查了交、并、补集的混合运算的相关知识点,需要掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法才能正确解答此题.
8、
若x,y满足约束条件 ,则z=x+3y的最大值为______ .
7
解:作出不等式组 表示的平面区域, 得到如图的三角形及其内部,由
可得A(1,2),z=x+3y,将直线进行平移,
当l经过点A时,目标函数z达到最大值
∴z最大值=1+2×3=7.
所以答案是:7
9、
已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 若a3+a4=18﹣a6﹣a5 , 则S8=______ .
36
解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn , a3+a4=18﹣a6﹣a5 , ∴a3+a4+a6+a5=18,a3+a6=a4+a5=a1+a8 .
∴2(a1+a8)=18,即a1+a8=9.
则S8= =36.
所以答案是:36.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差数列的前n项和公式的相关知识,掌握前n项和公式:.
10、
对任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[﹣3.6]=﹣4,关于函数f(x)=[ ﹣[ ]],有下列命题: ①f(x)是周期函数;
②f(x)是偶函数;
③函数f(x)的值域为{0,1};
④函数g(x)=f(x)﹣cosπx在区间(0,π)内有两个不同的零点,
其中正确的命题为______(把正确答案的序号填在横线上).
①③
解:∵f(x+3)=[ ﹣[ ]]=[ +1﹣[ +1]]=f(x),∴f(x)是周期函数,3是它的一个周期,故①正确. f(x)=[ ﹣[ ]]= ,结合函数的周期性可得函数的值域为{0,1},则函数不是偶函数,故②错,③正确.
f(x)=[ ﹣[ ]]= ,故g(x)=f(x)﹣cosπx在区间(0,π)内有3个不同的零点 , ,2,故④错误.
则正确的命题是①③,
所以答案是:①③
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识,掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
11、
利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学,其中女生人数为8人,则该年级男生人数为______ .
480
解由于样本容量为20,则男生的人数为12人,则该年级男生人数为 ×800=480, 所以答案是:480
【考点精析】本题主要考查了系统抽样方法的相关知识点,需要掌握把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本;第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取才能正确解答此题.
12、
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2 sinθ. (Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;
(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2 sinθ. ∴ρ2=2 ,化为x2+y2= ,
配方为 =3.
(II)设P ,又C .
∴|PC|= = ≥2 ,
因此当t=0时,|PC|取得最小值2 .此时P(3,0)
(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2 sinθ.化为ρ2=2 ,把 代入即可得出;.(II)设P ,又C .利用两点之间的距离公式可得|PC|= ,再利用二次函数的性质即可得出.
13、
已知函数f(x)=ex , g(x)=mx2+ax+b,其中m,a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. (I)函数h(x)=xf (x),当a=l,b=0时,若函数h(x)与g(x)具有相同的单调区间,求m的值;
(II)记F(x)=f(x)﹣g(x).当a=2,m=0时,若函数F(x)在[﹣1,2]上存在两个不同的零点,求b的取值范围.
解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ex , 函数h(x)=xf(x), ∴h(x)=xex , ∴h′(x)=ex+xex ,
∵h′(x)=ex+xex=0,x=﹣1,
h′(x)=ex+xex>0,x>﹣1,
h′(x)=ex+xex<0,x<﹣1,
∴h(x)=xex , (﹣∞,﹣1)上单调递减,(﹣1,+∞)单调递增,x=﹣1时h(x)取极小值,
∵当a=1,b=0时g(x)=mx2+ax+b=mx2+x,若函数h(x)与g(x)具有相同的单调区间,
∴﹣ =﹣1,m= ;
(Ⅱ)当m=0,a=2时,F(x)=ex﹣2x﹣b,
∴F′(x)=ex﹣2,
∵F′(x)=ex﹣2=0,x=ln2,
F′(x)=ex﹣2>0,x>ln2
F′(x)=ex﹣2<0,x<ln2,
∴F(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,
F(x)的最小值为F(ln2)=2﹣2ln2﹣b,
∵函数F(x)在[﹣1,2]上存在两个不同的零点,
∴2﹣2ln2﹣b<0,F(﹣1)≥0,F(2)≥0,
解得出:b>2﹣2ln2,b≤ +2,b≤e2﹣4,
即2﹣2ln2<b≤ +2
(Ⅰ)求解导数得出:h(x)=xex , (﹣∞,﹣1)上单调递减,(﹣1,+∞)单调递增,x=﹣1时h(x)去极小值.(Ⅱ)当m=0时,记F(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣ax﹣b,F(x)在(﹣∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,F(x)的最小值为F(ln2)=2﹣2ln2﹣b,根据函数性质得出:2﹣2ln2﹣b<0,F(﹣1)≥0,F(2)≥0.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.
14、
如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求三棱锥B1﹣EA1C1的体积.
(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,
则
在 .
在△BCE中,∵BE2+BC2=9=EC2,
∴BE⊥BC,∵BB1⊥平面ABCD,∴BE⊥BB1,
∵BC∩BB1=B,∴BE⊥平面BB1C1C
(2)证明:∵点E到平面A11C1的距离为AA1=3,
∴三棱锥B1﹣EA1C1的体积:
= =
= = .
(1)过B作CD的垂线交CD于F,推导出BE⊥BC,BE⊥BB1 , 由此能证明BE⊥平面BB1C1C.(2)三棱锥B1﹣EA1C1的体积: = ,由此能求出结果.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定,需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案.
15、
已知椭圆C: + =1(a>b>0)的焦距为4 ,且椭圆C过点(2 ,1). (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C与y轴负半轴的交点为B,如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E、F,且B,E,F构成以EF为底边,B为顶点的等腰三角形,判断直线EF与圆x2+y2= 的位置关系.
解:(I)由题可知c=2 ,a2﹣b2=c2 , 将点(2 ,1)代入椭圆方程可得 + =1,解得a=4,b=2,
则椭圆C方程是 + =1;
(II)设交点为E(x1 , y1),F(x2 , y2),EF的中点M的坐标为(xM , yM),
由 ,得(1+4k2)x2+8kx﹣12=0,
由题可知△=64k2﹣4(1+4k2)(﹣12)>0恒成立,
x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣ ,
可得xM= =﹣ ,yM= =1+ = ,
因为△BEF是以EF为底边,B为顶点的等腰角形,所以EF⊥BM.
因此BM的斜率kBM=﹣ ,又点B的坐标为(0,﹣2),
所以kBM= =﹣ ,即﹣ =﹣ ,
解得k=± ,故EF的直线方程为± x﹣4y+4=0,
又因为圆x2+y2= 的圆心(0,0)到直线EF的距离d= = > ,
所以直线EF与圆x2+y2= 相离
(I)由题可知c=2 ,又a2﹣b2=c2 , 将点(2 ,1)代入椭圆方程,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;(II)设交点为E(x1 , y1),F(x2 , y2),EF的中点M的坐标为(xM , yM),联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和中点坐标公式,可得M的坐标,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得直线EF的方程,再求圆心到直线的距离,与班级比较,即可得到所求位置关系.
16、
设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsin A. (Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若a= ,c=5,求△ABC的面积及b.
解:(Ⅰ)因为a=2bsin A,由正弦定理得sin A=2sin Bsin A, 由于sin A≠0,故有sin B= ,
又因为B是锐角,所以B=30°.
(Ⅱ)依题意得:S△ABC= acsin 30°= ×3 ×5× = ,
所以由余弦定理b2=a2+c2﹣2accos B,可得:
b2=(3 )2+52﹣2×3 ×5×cos 30°=27+25﹣45=7,
所以b=
(Ⅰ)由已知及正弦定理得sin A=2sin Bsin A,由于sin A≠0,可求sinB= ,结合B是锐角,可求B.(Ⅱ)依题意利用三角形面积公式及余弦定理即可计算得解.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;才能正确解答此题.
17、
如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知80~90分数段的学员数为21人. (Ⅰ)求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数n;
(Ⅱ)现欲将90~95分数段内的n名人分配到几所学校,从中安排2人到甲学校去,若n人中仅有两名男生,求安排结果至少有一名男生的概率.
解:(Ⅰ)80~90分数段频率为P1=(0.04+0.03)×5=0.35, 此分数段的学员总数为21人所以毕业生,
的总人数N为N= =60,
90~95分数段内的人数频率为P1=1﹣(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1
所以90~95分数段内的人数n=60×0.1=6,
(Ⅱ) 90~95分数段内的6人中有两名男生,4名女生
设男生为1,2;女生为3,4,5,6,设安排结果中至少有一名男生为事件A
从中取两名毕业生的所有情况(基本事件空间)为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种组合方式,
每种组合发生的可能性是相同的,其中,至少有一名男生的种数为12,13,14,15,16,23,24,25,26共9种
所以,P(A)= =
(Ⅰ)根据频率分布直方图,先求出80~90分数段频率,即可求出N,再用1减去成绩落在其它区间上的频率,即得成绩落在90~95上的频率,继而期初该段的人数(Ⅱ)一一列举出所有的基本事件,再找到满足条件的基本事件,根据概率公式计算即可
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图的相关知识点,需要掌握频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可以利用图形传递信息才能正确解答此题.