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山西省太原市高二（下）期中数学试卷（文科）
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
75 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共7题，共35分）
1、 已知复数z=3+4i，则|z|等于（ ） A.25 B.12 C.7 D.5 2、 设Q表示要证明的结论，P表示一个明显成立的条件，那么下列流程图表示的证明方法是（ ） Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件． A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.比较法 3、 下列能正确反映《必修1》中指数幂的推广过程的是（ ） A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂 B.有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂 C.整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂 D.无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂 4、 已知两个变量x，y之间具有相关关系，现选用a，b，c，d四个模型得到相应的回归方程，并计算得到了相应的R2值分别为Ra2=0.80，Rb2=0.98，Rc2=0.93，Rd2=0.86，那么拟合效果最好的模型为（ ） A.a B.b C.c D.d 5、 关于残差和残差图，下列说法正确的是（ ） ⑴残差就是随机误差 ⑵残差图的纵坐标是残差 ⑶残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高 ⑷残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低． A.（1）（2） B.（3）（4） C.（2）（3） D.（2）（4） 6、 在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（ ） A.y=a+bx B.y=c+d C.y=m+nx2 D.y=p+qex（q＞0） 7、 我们知道，在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD的外接圆的半径R满足4R2=a2+b2 ， 类比上述结论，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是（ ） A.4R2=a3+b3+c3 B.8R2=a2+b2+c2 C.8R3=a3+b3+c3 D.4R2=a2+b2+c2
二、填空题（共2题，共10分）
8、 已知a=2 9、 观察下列关系式： ﹣1=﹣1． ﹣1+3=2， ﹣1+3﹣5=﹣3， ﹣1+3﹣5+7=4 … 则﹣1+3﹣5+7…+（﹣1）n（2n﹣1）=______ ．
三、解答题（共4题，共20分）
10、 已知数列{bn}满足bn=| （1）求b1 ， b2 ， b3 ， 并猜想bn的表达式（不必写出证明过程）； （2）设cn= 11、 已知函数f（x）=x3+ （1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2； （2）证明：f（x）≤ 12、 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，利用简单随机抽样的方法在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：
13、 已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足a1= （1）求S1 ， S2 ， S3 ， S4并猜想Sn的表达式（不必写出证明过程）； （2）设bn=
四、（共2题，共10分）
14、 复数1﹣2i的共轭复数是______ ． 15、 已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，对应边a，b，c成等比数列，那么△ABC的形状为______ ． |
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山西省太原市高二（下）期中数学试卷（文科）
1、
已知复数z=3+4i，则|z|等于（ ）
A.25
B.12
C.7
D.5
D
解：复数z=3+4i， 则|z|= 
=5，
故选：D．
【考点精析】本题主要考查了复数的模（绝对值）的相关知识点，需要掌握复平面内复数所对应的点到原点的距离，是非负数，因而两复数的模可以比较大小；复数模的性质：(1)
(2)
(3)若
为虚数,则
才能正确解答此题．
2、
设Q表示要证明的结论，P表示一个明显成立的条件，那么下列流程图表示的证明方法是（ ） Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D.比较法
B
解：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备， 此结论就一定成立．
故选：B．
3、
下列能正确反映《必修1》中指数幂的推广过程的是（ ）
A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂
B.有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂
C.整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂
D.无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
A
解：根据数的推广方法，得出指数幂的推广过程：整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂， 故选A．
4、
已知两个变量x，y之间具有相关关系，现选用a，b，c，d四个模型得到相应的回归方程，并计算得到了相应的R2值分别为Ra2=0.80，Rb2=0.98，Rc2=0.93，Rd2=0.86，那么拟合效果最好的模型为（ ）
A.a
B.b
C.c
D.d
B
解：相关指数R2越大，拟合效果越好． ∵R2=0.98在四个选项中最大，∴其拟合效果最好，
故选B．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相关系数的相关知识，掌握|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．
5、
关于残差和残差图，下列说法正确的是（ ） ⑴残差就是随机误差
⑵残差图的纵坐标是残差
⑶残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高
⑷残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低．
A.（1）（2）
B.（3）（4）
C.（2）（3）
D.（2）（4）
C
解：因为在残差图中，残差点的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高； 残差图的纵坐标是残差，即（2）（3）正确，
故选C．
6、
在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（ ） 
A.y=a+bx
B.y=c+d 
C.y=m+nx2
D.y=p+qex（q＞0）
B
解：由散点图可得，图象是抛物线形状，则适宜作为y关于x的回归方程类型的是y=c+d 
， 故选B．
7、
我们知道，在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD的外接圆的半径R满足4R2=a2+b2 ， 类比上述结论，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是（ ）
A.4R2=a3+b3+c3
B.8R2=a2+b2+c2
C.8R3=a3+b3+c3
D.4R2=a2+b2+c2
D
解：由已知，在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD的外接圆的半径R满足4R2=a2+b2 ， 我们可以类比这一性质，推理出：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是4R2=a2+b2+c2 ． 故选D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解类比推理的相关知识，掌握根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理．
8、
已知a=2 
+ 
，b= 
+ 
，那么a，b的大小关系为______ ． （用“＞”连接）
b＞a
解：∵a=2 
+ 
，b= 
+ 
， ∴a2=13+4 
，b2=13+2 
∵4 ＜2 ，
∴a2＜b2 ，
∴a＜b，
所以答案是b＞a．
9、
观察下列关系式： ﹣1=﹣1．
﹣1+3=2，
﹣1+3﹣5=﹣3，
﹣1+3﹣5+7=4
…
则﹣1+3﹣5+7…+（﹣1）n（2n﹣1）=______ ．
（﹣1）n?n
解：观察右边的得数，可得符号为（﹣1）n ， 数值为n， 故﹣1+3﹣5+7…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）n•n，
所以答案是：（﹣1）n•n
【考点精析】根据题目的已知条件，利用归纳推理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理．
10、
已知数列{bn}满足bn=| 
|，其中a1=2，an+1= 
（1）求b1 ， b2 ， b3 ， 并猜想bn的表达式（不必写出证明过程）；
（2）设cn= 
，数列|cn|的前项和为Sn ， 求证Sn＜ 
．
（1）解：由a1=2，an+1= 
可得：a2= 
，a3= 
．又bn=| 
|，
则b1=4，b2=8，b3=16．
猜想bn=4×2n﹣1=2n+1
（2）解：证明：cn= 
= 
= 
﹣ 
，
∴数列|cn|的前项和为Sn= 
+ 
+…+ 
= 
．
∴Sn＜ 
（1）由a1=2，an+1= 可得：a2= ，a3= ．又bn=| |，可得b1 ， b2 ， b3 ． 猜想bn=2n+1 ． （2）cn= = = ﹣ ，即可得出数列|cn|的前项和为Sn ．
【考点精析】掌握数列的定义和表示和数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道数列中的每个数都叫这个数列的项．记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
．
11、
已知函数f（x）=x3+ 
，x∈[0，1]．
（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；
（2）证明：f（x）≤ 
．
（1）证明：（1）由x∈[0，1]，
则x+1∈[1，2]，
要证f（x）≥1﹣x+x2，
只需证x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），
只需证x4+x3+1≥x3+1，
只需证x4≥0，显然成立，
∴f（x）≥1﹣x+x2
（2）解：≤x≤1，∴x3≤x，
∴f（x）≤x+ 
，
设g（x）=x+ ，x∈[0，1]，
∴g′（x）=1﹣ 
= 
≥0，
∴g（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）≤g（1）= 
（1）利用分析法证明即可，（2）先放缩得到f（x）≤x+ ，再构造函数g（x）=x+ ，x∈[0，1]，利用函数的单调性和最值得关系即可证明．
12、
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，利用简单随机抽样的方法在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（2）根据（1）的结论，你能否提出更好的调查方法来了解该校大学新生的饮食习惯，说明理由．
（1）解：将2×2列联表中的数据代入公式，计算得
K2= 
≈4.762，
因为4.762＞3.841，
所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异
（2）解：根据（1）的结论，在调查时，要先确定该多大学新生中南方学生与北方学生的比例，
再利用分层抽样方法比较好
（1）利用2×2列联表中的数据计算观测值x2 ， 对照表中数据即可得出结论；（2）根据（1）的结论，在调查时，要先确定该多大学新生中南方学生与北方学生的比例，再利用分层抽样方法比较好．
13、
已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足a1= 
，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．
（1）求S1 ， S2 ， S3 ， S4并猜想Sn的表达式（不必写出证明过程）；
（2）设bn= 
，n∈N*，求bn的最大值．
（1）解：∵a1= 
，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．∴ 
=1，解得S2= 
．
同理可得：S3= 
，S4= 
．
猜想Sn= 
（2）解：由（1）可得：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ 
= 
．
bn= 
= 
= 
= 
≤ 
，n∈N*，
b5= 
，b6= ．
∴bn的最大值为
（1）a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．可得 =1，解得S2 ． 同理可得：S3 ， S4 ． 猜想Sn= ．（2）由（1）可得：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= 
．可得bn= 
= 
，利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和归纳推理的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理才能正确解答此题．
14、
复数1﹣2i的共轭复数是______ ．
1+2i
解：复数1﹣2i的共轭复数是1+2i． 所以答案是：1+2i．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握形如
的数叫做复数，
和
分别叫它的实部和虚部．
15、
已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，对应边a，b，c成等比数列，那么△ABC的形状为______ ．
等边三角形
解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列， ∴2B=A+C，由三角形内角和可得B= 
，
又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac
由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴ac=a2+c2﹣ac，即a2+c2﹣2ac=0，
故（a﹣c）2=0，可得a=c，
故三角形为：等边三角形，
所以答案是：等边三角形．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握余弦定理:
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