四川省绵阳市南山中学实验学校高二(下)期中数学试卷(理科)
高中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
70 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共7题,共35分)
1、 函数f(x)=ax﹣x3(a>0,且a≠1)恰好有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A.1<a<e B.1<a<e C.0<a<e D.e <a<e 2、 若复数 ,则 =______ . 3、 已知函数f(x)= 在[1,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围是( ) A.0<a≤ B.a C. <a≤ D.a≥ 4、 已知xy>0,若x2+4y2>(m2+3m)xy恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣4]∪[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞) C.(﹣4,1) D.(﹣1,4) 5、 若函数f(x)满足 ,则f'(1)的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6、 曲线y=x3+1在点(﹣1,0)处的切线方程为( ) A.3x+y+3=0 B.3x﹣y+3=0 C.3x﹣y=0 D.3x﹣y﹣3=0 7、 已知命题p:∀x∈R,lgx=2,则¬p是( ) A.∀x∉R,lgx=2 B.∃x0∈R,lgx0≠2 C.∀x∈R,lgx≠2 D.∃x0∈R,lgx0=2
二、填空题(共3题,共15分)
8、 已知正实数a,b满足2a+b=1,则4a2+b2+ 的最小值为______ . 9、 已知函数f(x)=﹣ +4x﹣3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是______ . 10、 记定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x).如果存在x0∈[a,b],使得f(b)﹣f(a)=f′(x0)(b﹣a)成立,则称x0为函数f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.那么函数f(x)=x3﹣3x在区间[﹣2,2]上的“中值点”为______ .
三、解答题(共4题,共20分)
11、 已知函数f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R). (1)当a=1时,求曲线在点(1,0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最小值. 12、 已知函数 (a≠0). (1)已知函数f(x)在点(0,1)处的斜率为1,求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若a>0,g(x)=x2emx , 且对任意的x1 , x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数m的取值范围. 13、 命题p:不等式x2﹣(a+1)x+1>0的解集是R.命题q:函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.若p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围. 14、 已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>1)在x=﹣1时的极值为0.求常数a,b的值并求f(x)的单调区间. |
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四川省绵阳市南山中学实验学校高二(下)期中数学试卷(理科)
1、
函数f(x)=ax﹣x3(a>0,且a≠1)恰好有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.1<a<e
B.1<a<e
C.0<a<e
D.e <a<e
A
解:∵f(x)=ax﹣x3(a>0,且a≠1)恰好有两个不同的零点 ∴等价于方程ax=x3恰有两个不同的解.
当0<a<1时,y=ax与y=x3的图象只有一个交点,
不符合题意.
当a>1时,y=ax与y=x3的图象在x∈(﹣∞,0)上没有交点,所以只考虑x>0,
于是可两边同取自然对数,得xlna=3lnx,即lna= ,
令g(x)= ,则 ,
当x∈(0,e)时,g(x)单调递增,
当x<1时,当g(x)<0,
x∈(e,+∞)时,g(x)单减且g(x)>0.
∴要有两个交点,0<lna<g(e)= ,即1<a< .
故选:A
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.
2、
若复数 ,则 =______ .
解: = =﹣1+i, =﹣1﹣i
+3i=(﹣1﹣i)+3i=﹣1+2i,
所以 = =
所以答案是: .
【考点精析】根据题目的已知条件,利用复数的乘法与除法和复数的模(绝对值)的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握设则;;复平面内复数所对应的点到原点的距离,是非负数,因而两复数的模可以比较大小;复数模的性质:(1)(2)(3)若为虚数,则.
3、
已知函数f(x)= 在[1,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围是( )
A.0<a≤
B.a
C. <a≤
D.a≥
A
解:f′(x)= , 由f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即﹣1﹣lna+lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,
∴lnx≥lnea在[1,+∞)上恒成立,
∴lnea≤0,即ea≤1,
∴a≤ ,
∵a>0,
∴0
故选:A
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案.
4、
已知xy>0,若x2+4y2>(m2+3m)xy恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣4]∪[﹣1,+∞)
B.(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞)
C.(﹣4,1)
D.(﹣1,4)
C
解:∵xy>0,x2+4y2>(m2+3m)xy,∴m2+3m< , ∵ ≥ =4,当且仅当x=2y>0时取等号.
∴m2+3m<4,解得﹣4<m<1.
∴实数m的取值范围是﹣4<m<1.
故选:C.
5、
若函数f(x)满足 ,则f'(1)的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
A
解;求函数f(x)= x3﹣f′(1)•x2﹣x的导数, 得,f′(x)=x2﹣2f′(1)x﹣1,
把x=1代入,得,f′(1)=1﹣2f′(1)﹣1,
∴f′(1)=0,
故选:A.
【考点精析】关于本题考查的基本求导法则,需要了解若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导才能得出正确答案.
6、
曲线y=x3+1在点(﹣1,0)处的切线方程为( )
A.3x+y+3=0
B.3x﹣y+3=0
C.3x﹣y=0
D.3x﹣y﹣3=0
B
解:y′=3x2y′|x=1=3,切点为(﹣1,0)
∴曲线y=x3+1在点(﹣1,0)切线方程为y﹣0=3[x﹣(﹣1)],
即3x﹣y+3=0
故选B.
7、
已知命题p:∀x∈R,lgx=2,则¬p是( )
A.∀x∉R,lgx=2
B.∃x0∈R,lgx0≠2
C.∀x∈R,lgx≠2
D.∃x0∈R,lgx0=2
B
解:∵p:∀x∈R,lgx=2, ∴¬p:∃x0∈R,lgx0≠2,
故选:B.
【考点精析】利用全称命题对题目进行判断即可得到答案,需要熟知全称命题:,,它的否定:,;全称命题的否定是特称命题.
8、
已知正实数a,b满足2a+b=1,则4a2+b2+ 的最小值为______ .
解:4a2+b2+ = =1+ ﹣4ab, 令ab=t,则4a2+b2+ =1+ ﹣4t.
∵正实数a,b满足2a+b=1,
∴1 ,
∴0<ab ,
∴0<t ,
由y= ﹣4t可得y′=﹣ ﹣4<0,∴0<t 时,y= ﹣4t单调递减,
∴y≥ ,
∴4a2+b2+ ≥ .
所以答案是: .
【考点精析】关于本题考查的基本不等式在最值问题中的应用,需要了解用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能得出正确答案.
9、
已知函数f(x)=﹣ +4x﹣3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是______ .
0<t<1或2<t<3
解:∵函数 ∴f′(x)=﹣x+4﹣
∵函数 在[t,t+1]上不单调,
∴f′(x)=﹣x+4﹣ =0在[t,t+1]上有解
∴ 在[t,t+1]上有解
∴g(x)=x2﹣4x+3=0在[t,t+1]上有解
∴g(t)g(t+1)≤0或
∴0<t<1或2<t<3.
所以答案是:0<t<1或2<t<3.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
10、
记定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x).如果存在x0∈[a,b],使得f(b)﹣f(a)=f′(x0)(b﹣a)成立,则称x0为函数f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.那么函数f(x)=x3﹣3x在区间[﹣2,2]上的“中值点”为______ .
±
解:∵f(x)=x3﹣3x, ∴f′(x)=3x2﹣3,
设x0为f(x)在区间[﹣2,2]上的“中值点”,
则f′(x0)= = =1,
即3 ﹣3=1,
解得x0=± ;
所以答案是:± .
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识,掌握若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
11、
已知函数f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R).
(1)当a=1时,求曲线在点(1,0)处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间 上的最小值.
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=1时,f′(x)=1﹣ ,则f'(1)=0,故曲线在点(1,0)处的切线为y=0
(2)解:f′(x)= (x>0),则:
①当a≤0时,f'(x)<0,
此时f(x)在[ ,2]上单减,故f(x)min=f(2)=2a﹣1﹣ln2
②当a>0时,
(Ⅰ)0< ≤ ,即a≥2,f(x)在上单增,故f(x)min=f( )= ﹣1+ln2;
(Ⅱ) < <2,即 <a<2,f(x)在[ , )单减,在[ ,2]单增,故f(x)min=f( )=lna.
(Ⅲ) ≥2,即0<a≤ ,f(x)在[ ,2]上单减,故f(x)min=f(2)=2a﹣1﹣ln2,
综上f(x)min=
(1)利用导数与曲线斜率的公式即可求得结论;(2)分类讨论,利用导数即可求得函数的最小值.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
12、
已知函数 (a≠0).
(1)已知函数f(x)在点(0,1)处的斜率为1,求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若a>0,g(x)=x2emx , 且对任意的x1 , x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.
(1)解:f′(x)= ,故f′(0)= =1,解得:a=1
(2)解:由题意可知,函数f(x)的定义域为R,
f′(x)= ,
当a>0时,x∈(﹣1,1),f′(x)>0,f(x)为增函数,
x∈(﹣∞,﹣1),(1,+∞),f′(x)<0,f(x)为减函数;
当a<0时,x∈(﹣1,1),f′(x)<0,f(x)为减函数,
x∈(﹣∞,﹣1),(1,+∞),f′(x)>0,f(x)为增函数
(3)解:“对任意的x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立”
等价于“当a>0时,对任意的x1,x2∈[0,2],fmin(x)≥gmax(x)成立”,
当a>0时,由(2)可知,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,
而f(0)=1,f(2)= +1>1,所以f(x)的最小值为f(0)=1,
g(x)的导数g′(x)=2xemx+x2emx•m=(mx2+2x)emx,
当m=0时,g(x)=x2,x∈[0,2]时,gmax(x)=g(2)=4,显然不满足gmax(x)≤1,
当m≠0时,令g′(x)=0得,x1=0,x2=﹣ ,
①当﹣ ≥2,即﹣1≤m≤0时,在[0,2]上g′(x)≥0,所以g(x)在[0,2]单调递增,
所以gmax(x)=g(2)=4e2m,只需4e2m≤1,得m≤﹣ln2,所以﹣1≤m≤﹣ln2;
②当0<﹣ <2,即m<﹣1时,在[0,﹣ ],g′(x)≥0,g(x)单调递增,
在[﹣ ,2],g′(x)<0,g(x)单调递减,所以gmax(x)=g(﹣ )= ,
只需 ≤1,得m≤﹣ ,所以m<﹣1;
③当﹣ <0,即m>0时,显然在[0,2]上g′(x)≥0,g(x)单调递增,
gmax(x)=g(2)=4e2m,4e2m≤1不成立.
综上所述,m的取值范围是(﹣∞,﹣ln2]
(1)求出函数的导数,计算f′(0)=1,求出a的值即可;(2)求出f(x)的导数,并分解因式,讨论a>0,a<0,由导数大于0可得增区间,由导数小于0,得减区间;(3)“对任意的x1 , x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立”等价于“当a>0时,对任意的x1 , x2∈[0,2],fmin(x)≥gmax(x)成立”,求得f(x)在[0,2]上的最小值,再求g(x)的导数,对m讨论,结合单调性,求得最大值,解不等式即可得到.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
13、
命题p:不等式x2﹣(a+1)x+1>0的解集是R.命题q:函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.若p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.
解:∵命题p:不等式x2﹣(a+1)x+1>0的解集是R ∴△=(a+1)2﹣4<0,解得﹣3<a<1,
∵命题q:函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.
∴a+1>1,解得a>0
由p∧q为假命题,p∨q为真命题,可知p,q一真一假,
当p真q假时,由{a|﹣3<a<1}∩{a|a≤0}={a|﹣3<a≤0}
当p假q真时,由{a|a≤﹣3,或a≥1}∩{a|a>0}={a|a≥1}
综上可知a的取值范围为:{a|﹣3<a≤0,或a≥1}
由题意可得p,q真时,a的范围,分别由p真q假,p假q真由集合的运算可得.
【考点精析】利用四种命题间的逆否关系对题目进行判断即可得到答案,需要熟知交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.
14、
已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>1)在x=﹣1时的极值为0.求常数a,b的值并求f(x)的单调区间.
解:f′(x)=3x2+6ax+b,由题意知 ,解得a=2,b=9…6分 所以f (x)=x3 +6x2 +9 x+4,f′(x)=3x2+12x+9
由f′(x)>0可得x<﹣3或x>﹣1,所以增区间为(﹣∞,﹣3)和(﹣1,+∞)
由f′(x)<0可得﹣3<x<﹣1,所以减区间为(﹣3,﹣1)
求导函数,利用函数在x=﹣1时的极值为0,建立方程组,可求常数a,b的值;由导数的正负,可得f(x)的单调区间.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题.