山东省淄博市临淄中学高二(上)期末数学试卷(理科)
高中数学考试
考试时间:
分钟
满分:
85 分
*注意事项:
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题(共9题,共45分)
1、 已知椭圆C1: =1(a>b>0)与双曲线C2:x2﹣ =1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( ) A.a2= B.a2=3 C.b2= D.b2=2 2、 已知向量 , ,则 的最小值为( ) A.2 B. C. D. 3、 在公差为d,各项均为正整数的等差数列{an}中,若a1=1,an=51,则n+d的最小值为( ) A.14 B.16 C.18 D.10 4、 已知双曲线 的焦距为 ,且双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 5、 已知x,y满足 ,且z=y﹣2x的最大值是( ) A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣5 6、 命题p:若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0,如果把命题p视为原命题,那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7、 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,“a>b”是“sinA>sinB”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8、 抛物线y=x2的准线方程为( ) A. B. C. D. 9、 命题p:∃x0∈R, ,¬p为( ) A.∀x∈R,x2﹣x+1<0 B.∀x∈R,x2﹣x+1>0 C.∃x∈R,x2﹣x+1>0 D.∃x∈R,x2﹣x+1≥0
二、填空题(共3题,共15分)
10、 一元二次不等式x2<x+6的解集为______ . 11、 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A= ,a=1,b= ,则B=______ . 12、 已知 =(1,1,0), =(﹣1,0,2),且k + 与2 ﹣ 垂直,则k的值为______ .
三、解答题(共5题,共25分)
13、 已知椭圆C: (a>b>0)的左焦点为F(﹣2,0),离心率为 . (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)设O为坐标原点,T为直线x=﹣3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P、Q,当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积. 14、 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是 (t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0. (Ⅰ)说明C是哪种曲线?并将C的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)直线l与C交于A,B两点,|AB|= ,求l的斜率. 15、 如图,在△ABC中,AC=10, ,BC=6,D是边BC延长线上的一点,∠ADB=30°,求AD的长. 16、 如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1 , ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.请建立适当的坐标系,求解下列问题: (Ⅰ)求证:异面直线A1D与BC互相垂直; (Ⅱ)求二面角(钝角)D﹣A1C﹣A的余弦值. 17、 已知数列{an}的前n项和 . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 ,求数列{anbn2}的前n项和Tn . |
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山东省淄博市临淄中学高二(上)期末数学试卷(理科)
1、
已知椭圆C1: =1(a>b>0)与双曲线C2:x2﹣ =1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2=
B.a2=3
C.b2=
D.b2=2
C
解:由题意,C2的焦点为(± ,0),一条渐近线方程为y=2x,根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a ∴C1的半焦距c= ,于是得a2﹣b2=5 ①
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为(x,2x),代入C1的方程得: ②,由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2 x,
由题得:2 x= ,所以 ③
由②③得a2=11b2④
由①④得a2=5.5,b2=0.5
故选C
2、
已知向量 , ,则 的最小值为( )
A.2
B.
C.
D.
D
解:∵向量 , , ∴ =(﹣1﹣t,t﹣1,3﹣t),
∴ 2=(﹣1﹣t)2+(t﹣1)2+(3﹣t)2=3(t﹣1)2+8≥8,
∴ = ,
即当t=1时, 的最小值是 .
故选:D.
3、
在公差为d,各项均为正整数的等差数列{an}中,若a1=1,an=51,则n+d的最小值为( )
A.14
B.16
C.18
D.10
B
解:由a1=1,得到an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)d=51, 即(n﹣1)d=50,
解得:d= ,
因为等差数列的各项均为正整数,所以公差d也为正整数,
因此d只能是1,2,5,10,25,50,
此时n相应取得51,26,11,6,3,2,
则n+d的最小值等于16.
故选:B.
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式(及其变式)的相关知识点,需要掌握通项公式:或才能正确解答此题.
4、
已知双曲线 的焦距为 ,且双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,则双曲线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
A
解:双曲线 的焦距为 ,可得c= ,即a2+b2=5,…① 双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,可得a=2b,…②,
解①②可得a=2,b=1.
所求的双曲线方程为: .
故选:A.
5、
已知x,y满足 ,且z=y﹣2x的最大值是( )
A.1
B.﹣1
C.﹣2
D.﹣5
A
解:由约束条件 ,作出可行域如图,
联立 ,解得A(﹣1,﹣1),
化目标函数z=y﹣2x为y=2x+z,由图可知,当直线y=2x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为﹣1﹣2×(﹣1)=1.
故选:A.
6、
命题p:若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0,如果把命题p视为原命题,那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
解:命题p:若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0,为真命题, 故其逆否命题也为真命题;
其逆命题:若x2+y2≠0,则x≠0或y≠0,为真命题,
故其否命题也为真命题;
故选:D
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本,需要知道两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
7、
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,“a>b”是“sinA>sinB”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
C
解:a>b⇔“2RsinA>2RsinB”⇔“sinA>sinB”(其中R为△ABC的外接圆半径) ∴“a>b”是“sinA>sinB”的充要条件.
故选:C.
8、
抛物线y=x2的准线方程为( )
A.
B.
C.
D.
D
解:由抛物线的标准方程为x2=y,得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线,2P=1, ∴其准线方程是y=﹣ =﹣ .
故选D.
9、
命题p:∃x0∈R, ,¬p为( )
A.∀x∈R,x2﹣x+1<0
B.∀x∈R,x2﹣x+1>0
C.∃x∈R,x2﹣x+1>0
D.∃x∈R,x2﹣x+1≥0
B
解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题p:∃x0∈R, ,¬p为∀x∈R,x2﹣x+1>0;
故选:B
10、
一元二次不等式x2<x+6的解集为______ .
(﹣2,3)
解:原不等式可变形为(x﹣3)(x+2)<0 所以,﹣2<x<3
所以答案是:(﹣2,3).
【考点精析】利用解一元二次不等式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求一元二次不等式解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数;二判:判断对应方程的根;三求:求对应方程的根;四画:画出对应函数的图象;五解集:根据图象写出不等式的解集;规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
11、
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A= ,a=1,b= ,则B=______ .
或
解:∵在△ABC中,A= ,a=1,b= , ∴由正弦定理 得:sinB= = = ,
∵a<b,∴A<B,
∴B= 或 .
所以答案是: 或 .
【考点精析】关于本题考查的余弦定理的定义,需要了解余弦定理:;;才能得出正确答案.
12、
已知 =(1,1,0), =(﹣1,0,2),且k + 与2 ﹣ 垂直,则k的值为______ .
解:∵ =(1,1,0), =(﹣1,0,2), ∴k + =k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2)
2 ﹣ =2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2),
∵k + 与2 ﹣ 垂直,
∴3(k﹣1)+2k﹣4=0,
∴k= ,
所以答案是:
【考点精析】本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系的相关知识点,需要掌握若平面的法向量为,平面的法向量为,要证,只需证,即证;即:两平面垂直两平面的法向量垂直才能正确解答此题.
13、
已知椭圆C: (a>b>0)的左焦点为F(﹣2,0),离心率为 . (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,T为直线x=﹣3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P、Q,当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
解:(Ⅰ)由题意可得 , 解得c=2,a= ,b= .
∴椭圆C的标准方程为 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(﹣2,0),
设T(﹣3,m),则直线TF的斜率 ,
∵TF⊥PQ,可得直线PQ的方程为x=my﹣2.
设P(x1 , y1),Q(x2 , y2).
联立 ,化为(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,
△>0,∴y1+y2= ,y1y2= .
∴x1+x2=m(y1+y2)﹣4= .
∵四边形OPTQ是平行四边形,
∴ ,∴(x1 , y1)=(﹣3﹣x2 , m﹣y2),
∴ ,解得m=±1.
此时四边形OPTQ的面积S= ═ = .
(Ⅰ)由题意可得 ,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(﹣2,0),设T(﹣3,m),可得直线TF的斜率kTF=﹣m,由于TF⊥PQ,可得直线PQ的方程为x=my﹣2.设P(x1 , y1),Q(x2 , y2).直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系.由于四边形OPTQ是平行四边形,可得 ,即可解得m.此时四边形OPTQ的面积S= .
14、
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是 (t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0. (Ⅰ)说明C是哪种曲线?并将C的方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)直线l与C交于A,B两点,|AB|= ,求l的斜率.
解:(Ⅰ)由 ,得曲线C的直角坐标方程为x2+y2+12x+11=0 即(x+6)2+y2=25,曲线C是以(﹣6,0)为圆心,5为半径的圆
,
(Ⅱ)易得直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),
设A,B的极径分别为ρ1 , ρ2 , 其是ρ2+12ρcosθ+11=0的解,
于是ρ1+ρ2=﹣12cosα,ρ1ρ2=11, ,
由 ,得 , ,
所以l的斜率为 或 .
(Ⅰ)由 ,得曲线C的直角坐标方程为x2+y2+12x+11=0,即可得出结论;(Ⅱ) ,由 ,得 , ,即可求l的斜率.
15、
如图,在△ABC中,AC=10, ,BC=6,D是边BC延长线上的一点,∠ADB=30°,求AD的长.
解:在△ABC中,AB=10,AC=14,BC=6, 由余弦定理得 ,
所以∠ACB=60°,∠ACD=120°,
在△ACD中,AC=10,∠ADB=30°,∠ACD=120°,
由正弦定理得,
所以
利用余弦定理,求出∠ACB=60°,∠ACD=120°,在△ACD中,AC=10,∠ADB=30°,∠ACD=120°,利用正弦定理可得结论.
【考点精析】本题主要考查了余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握余弦定理:;;才能正确解答此题.
16、
如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1 , ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,点D是棱B1C1的中点.请建立适当的坐标系,求解下列问题: (Ⅰ)求证:异面直线A1D与BC互相垂直;
(Ⅱ)求二面角(钝角)D﹣A1C﹣A的余弦值.
解:因为侧面ABB1A1C1 , ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°, 所以AB,AC,AA1两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系A﹣xyz
设AB=1,则C(0,1,0),B(1,0,0),A1(0,0,1),D( , ,1).
(Ⅰ)证明:由上可知: ,
所以 ,
所以 ,
所以,异面直线A1D与BC互相垂直.
(Ⅱ)解: =( , ,0), =(0,1,﹣1),
设平面DA1C的法向量为 =(x,y,z),则有
, ,
取x=1,得 =(1,﹣1,﹣1)
又因为AB⊥平面ACC1A1 , 所以平面ACC1A1的法向量为 =(1,0,0),
∴cos = = = ,
因为二面角D﹣A1C﹣A是钝角,
所以,二面角D﹣A1C﹣A的余弦值为- .
(Ⅰ)AB,AC,AA1两两互相垂直,建立直角坐标系A﹣xyz,设AB=1,求出相关点的坐标,通过证明 =0,即可证明异面直线A1D与BC互相垂直.(Ⅱ)求出平面DA1C的法向量,平面ACC1A1的法向量利用空间向量的数量积求解即可.
【考点精析】通过灵活运用异面直线及其所成的角,掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系即可以解答此题.
17、
已知数列{an}的前n项和 . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若 ,求数列{anbn2}的前n项和Tn .
解:(Ⅰ)因为Sn=n2+2n, 所以当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[(n﹣1)2+2(n﹣1)]=2n+1.
当n=1时,a1=S1=12+2×1=3,满足上式.
故an=2n+1.
(Ⅱ)因为bn=2n . 所以anbn2=(2n+1)4n ,
其前n项和:Tn=3•4+5•42+7•43+…+(2n﹣1)•4n﹣1+(2n+1)•4n①
两边乘以4得:4Tn=3•42+5•43+…+(2n﹣1)•4n+(2n+1)•4n+1…②
由①﹣②得:﹣3Tn=3•4+2•42+2•43+…+2•4n﹣(2n+1)•4n+1
=
所以Tn= .
(I)利用递推关系即可得出.(II)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.