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湖北省宜昌市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）
高中数学考试
考试时间：
分钟
满分：
65 分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（共6题，共30分）
1、 某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据．求得线性回归方程为 2、 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是（ ） A.29 000元 B.31 000元 C.38 000元 D.45 000元 3、 设F1 ， F2分别为椭圆 A.0 B.1 C.2 D.3 4、 一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5、 如图，给出的是计算 A.i≤2 021？ B.i≤2 019？ C.i≤2 017？ D.i≤2 015？ 6、 若p是真命题，q是假命题，则（ ） A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题 C.﹁p是真命题 D.﹁q是真命题
二、填空题（共4题，共20分）
7、 在平面直角坐标系中，动圆P截直线3x﹣y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4，则动圆圆心P到直线 8、 在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是______ ． 9、 已知正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，体积为16，八个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是______ ． 10、 直线
三、解答题（共3题，共15分）
11、 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E，F分别为PC，BD的中点． （1）证明：EF∥平面PAD； （2）证明：直线PA⊥平面PCD． 12、 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表． 表1：（乙流水线样本频数分布表）
（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望； （Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取x2+y2=2件，求其中超过合格品重量的件数l：y=kx﹣2的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面
附：下面的临界值表供参考： 13、 某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API监测数据，统计结果如下：
（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值； |
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湖北省宜昌市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）
1、
某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x（元） | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
销量V（件） | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
由表中数据．求得线性回归方程为 
=﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，則它在回归直线右上方的概率为
（ ）
A.
B.
C.
D.
C
解： 
= 
（4+5+6+7+8+9）= 
， 
= （90+84+83+80+75+68）=80 ∵ 
=﹣4x+a，
∴a=106，
∴回归直线方程 =﹣4x+106；
数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．
6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．
其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，
故这点恰好在回归直线右上方的概率P= 
= 
．
故选：C．
2、
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是（ ）
A.29 000元
B.31 000元
C.38 000元
D.45 000元
C
解：设x、y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． 由题意，得 
．
工厂的总利润z=12000x+7000y
由约束条件得可行域如图，
由 
，解得： 
，
所以最优解为A（2，2），
则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，
z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．
故选：C．
3、
设F1 ， F2分别为椭圆 
的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得 
成立的P点的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
C
解：设P（x0 ， y0）， ∵F1 ， F2分别为椭圆 
的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，
∴F1（﹣4，0），F2（4，0），
=（﹣4﹣x0 ， ﹣y0）， 
=（4﹣x0 ， ﹣y0），
∵ 
，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即 
=9，①
又∵设P（x0 ， y0）为椭圆上任意一点，∴ 
，②
联立①②，得： 
或 
，
∴使得 成立的P点的个数为2个．
故选：C．
4、
一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） 
A.
B.
C.
D.
A
解：由已知中的三视图，圆锥母线l= 
= 
，圆锥的高h= 
=2， 圆锥底面半径为r= 
= 
，∠AOB=90°．
故该几何体的体积为：V= 
V圆柱+V三棱锥P﹣AOB
= 
Sh+ 
= 
× 
+ 
= 
，
故选：A．
【考点精析】认真审题，首先需要了解由三视图求面积、体积(求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积)．
5、
如图，给出的是计算 
+ 
+ 
+…+ 
的值的程序框图，其中判断框内可填入的是（ ） 
A.i≤2 021？
B.i≤2 019？
C.i≤2 017？
D.i≤2 015？
C
解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第一次循环：i=2，S=0+ 
，
第二循环：i=4，S= + 
，
第三次循环：i=6，S= + + 
，
…
依此类推，第1008次循环：i=2016，S= + + +…+ 
，
i=2018，不满足条件，退出循环，输出s的值，
所以i≤2017或i＜2017，
故选：C．
【考点精析】认真审题，首先需要了解程序框图(程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明)．
6、
若p是真命题，q是假命题，则（ ）
A.p∧q是真命题
B.p∨q是假命题
C.﹁p是真命题
D.﹁q是真命题
D
解：∵p是真命题，q是假命题， ∴p∧q是假命题，选项A错误；
p∨q是真命题，选项B错误；
￢p是假命题，选项C错误；
￢q是真命题，选项D正确．
故选D．
【考点精析】本题主要考查了复合命题的真假的相关知识点，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真才能正确解答此题．
7、
在平面直角坐标系中，动圆P截直线3x﹣y=0和3x+y=0所得弦长分别为8，4，则动圆圆心P到直线 
的距离的最小值为______ ．
3
解：如图所示，设点P（x，y），由条件可得，AB=4，EC=2 由点到直线的距离公式，垂径定理可得 
+16= 
+4，化简可得，xy=10．
∴点P的轨迹方程为xy=10．
动圆圆心P到直线 
的距离d= 
≥3，
∴动圆圆心P到直线 的距离的最小值为3，
所以答案是3．
8、
在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的展开式中，含x4的项的系数是______ ．
-15
解：含x4的项是由（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数 ∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．
所以答案是：﹣15
9、
已知正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的高为4，体积为16，八个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是______ ．
24π
解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2， 正四棱柱的对角线长即球的直径为2 
，
∴球的半径为 ，球的表面积是24π，
所以答案是：24π
10、
直线 
的倾斜角是______ ．
解：因为直线 
的斜率为：﹣ 
， 所以tanα=﹣ ，
所以直线的倾斜角为： ．
所以答案是： ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的倾斜角的相关知识，掌握当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=0°，以及对一般式方程的理解，了解直线的一般式方程：关于
的二元一次方程
（A，B不同时为0）．
11、
如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E，F分别为PC，BD的中点． 
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）证明：直线PA⊥平面PCD．
（1）证明：连结AC，则F也是AC的中点，
又E是PC的中点，∴EF∥PA，
又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD
（2）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
∵PA⊂面PAD，∴CD⊥PA，
∵∠APD=90°，
∴PA⊥PD，
∵CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD
（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可．（2）证明CD⊥PA，PA⊥PD，运用线面垂直的定理可证明．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．
12、
某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表． 表1：（乙流水线样本频数分布表）
产品重量（克） | 频数 |
（490，495] | 6 |
（495，500] | 8 |
（500，505] | 14 |
（505，510] | 8 |
（510，515] | 4 |
（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望； （Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取x2+y2=2件，求其中超过合格品重量的件数l：y=kx﹣2的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面 
列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关”．
甲流水线 | 乙流水线 | 合计 | |
合格品 | a= | b= | |
不合格品 | c= | d= | |
合计 | n= |
P（K2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附：下面的临界值表供参考：
（参考公式： 
，其中n=a+b+c+d）
=0.9，由此可估计从甲流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率为P=0.9；
则X～B（5，0.9），
∴EX=5×0.9=4.5；
（Ⅱ）由表1知乙流水线样本中不合格品共10个，超过合格品重量的有4件，
则Y的取值为0，1，2；
且
，于是有：
；∴Y的分布列为
Y | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
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（Ⅲ）2×2列联表如下：
甲流水线 | 乙流水线 | 合计 | |
合格品 | a=36 | b=30 | 66 |
不合格品 | c=4 | d=10 | 14 |
合计 | 40 | 40 | n=80 |
计算 
= 
＞2.706，
∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关
（Ⅰ）计算甲样本中合格品数与频率，利用独立重复试验的概率公式计算EX的值；（Ⅱ）计算乙流水线样本中不合格品数，求出Y的可能取值，写出Y的分布列；（Ⅲ）填写2×2列联表，计算K2 ， 对照临界值表得出结论．
13、
某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API监测数据，统计结果如下：
API | [0，50] | （50，100] | （100，150] | （150，200] | （200，250] | （250，300] | （300，350] |
空气质量 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 中度重污染 | 重度污染 |
天数 | 2 | 4 | 5 | 9 | 4 | 3 | 3 |
（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；
（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为w）的关系式为：
S= 
若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．
解：（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值为 
[25×2+75×4+125×5+175×9+225×4+275×3+325×3]= 
； （Ⅱ）由分段函数的表达式可知，若经济损失S大于200元且不超过600元，
则得200＜4w﹣400≤600，即600＜4w≤1000，
解得150＜w≤250，此时对应的天数为9+4=13，
则对应的概率P= 
（Ⅰ）根据平均数的计算公式即可估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；（Ⅱ）根据分段函数的表达式，求出满足经济损失S大于200元且不超过600元对应的天数，根据古典概型的概率公式即可得到结论．